2024-03-29T10:34:20Zhttps://ebuah.uah.es/oai/requestoai:ebuah.uah.es:10017/88212023-12-14T15:59:15Zcom_10017_281com_10017_17964com_10017_17761com_10017_17741com_10017_19742col_10017_1405col_10017_19743
Sendra Pons, Juan Rafael
Universidad de Alcalá. Departamento de Matemáticas
San Segundo Barahona, Fernando
2010
El trabajo que se presenta en esta tesis pertenece al Área del Cálculo Simbólico, y en particular, al subárea de la Geometría Algebraica (Simbólica) Efectiva para curvas y superficies. Concretamente, en esta tesis se estudia la estructura de grados del polinomio multivariable que define el objeto geométrico que resulta al aplicar procesos de offsetting. Es decir, estudiamos su grado total y sus grados parciales con respecto a cada una de las variables, incluyendo la variable distancia. Para llevar a cabo este objetivo, la tesis se compone de cuatro capítulos y dos apéndices, cuya estructura se detalla a continuación: En el Capítulo 1, titulado Preliminaries and Statement of the Problem, se introducen las nociones de offset genérica y de polinomio de la offset genérica, junto con sus propiedades básicas. En este capítulo se sientan las bases teóricas de nuestro objeto de estudio. En particular, se prueba la propiedad fundamental del polinomio de la offset genérica,que afirma que dicho polinomio especializa bien; es decir, para casi todo valor que se asigne a la variable distancia la especialización del polinomio ,de la offset genérica, es el polinomio que define a la offset para ese valor concreto tomado como distancia. Una vez establecida dicha conexión con la teoría clásica, se define el problema central de esta tesis, que es el problema del grado de la offset genérica. Además se presenta la notación y terminología asociadas a ese problema. Se incluyen también en este capítulo algunos lemas técnicos, que tratan sobre la aplicación de la resultante para el análisis de problemas de intersección de curvas. El Capítulo 2, titulado Total Degree Formulae for Plane Curves, trata del problema del grado total para la offset genérica de una curva plana. Nuestro estudio incluye el caso general en el que la curva viene dada por su ecuación implícita, y también, para curvas racionales, el caso de curvas dadas paramétricamente. En ambos casos obtenemos fórmulas eficientes para el grado total de la offset genérica. Además se presentan otras fórmulas que pueden utilizarse para el estudio teórico del grado total de la offset. En este capítulo se introducen las nociones de sistema offset-recta, curva auxiliar y puntos intrusos. Estas tres nociones juegan un papel esencial en nuestro tratamiento del problema del grado. Estas nociones se utilizan para establecer un marco común para el desarrollo de fórmulas para el grado basadas en resultantes. En el siguiente capítulo ese marco común se aplica para obtener diversas fórmulas de grado. El Capítulo 3, titulado Partial Degree Formulae for Plane Curves, es una continuación natural del capítulo precedente. Aplicando la estrategia, métodos y lenguaje del Capítulo 2, en este capítulo se completa el análisis de la estructura de grados de la offset genérica para curvas planas. En concreto, obtenemos fórmulas para calcular cualquier grado parcial de la offset genérica, y también el grado con respecto a la variable distancia. Estas fórmulas cubren tanto el caso implícito como el caso paramétrico. Además se muestran otras fórmulas que pueden utilizarse para el análisis teórico del problema del grado. El Capítulo 4, titulado Degree Formulae for Rational Surfaces, trata el problema del grado para superficies. La mayor parte del capítulo se dedica a la demostración de una fórmula de grado total para superficies racionales, dadas paramétricamente. Esta fórmula puede aplicarse siempre que la superficie generadora satisfaga cierta condición muy general. En concreto, tenemos que asumir que existe a lo sumo una cantidad finita de valores de la distancia para los que la offset de la superficie pasa por el origen. La fórmula requiere el cálculo de una resultante generalizada univariada, y del máximo común divisor de polinomios con coeficientes simbólicos. La sección final de este capítulo contiene un enfoque alternativo para el estudio de la estructura de grados de una superficie de revolución, independiente de los resultados previos de este capítulo. Con este enfoque se obtiene una solución completa y efectiva para el problema del grado en este caso. La tesis se completa con dos apéndices, que contienen, respectivamente, un resumen de las fórmulas de grado obtenidas en esta tesis y los resultados de algunos cálculos, correspondientes a demostraciones o ejemplos, que, por su longitud, resulta más conveniente incluir aquí.
application/pdf
http://hdl.handle.net/10017/8821
eng
Geometría algebraica
Variedades (Matemáticas)
Matemáticas
Ciencia
Matemáticas
Matematics
Effective algorithms for the study of the degree of algebraic varieties in offsetting processes
info:eu-repo/semantics/doctoralThesis
TEXT
e_Buah Biblioteca Digital de la Universidad de Alcalá
Hispana
application/pdf
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Bravo de la Parra, Rafael
Universidad de Alcalá. Departamento de Matemáticas
Marvá Ruiz, Marcos
2011
Esta tesis pertenece al campo de la biología matemática. Los resultados matemáticos extienden resultados previos en relación a la agregación aproximada de sistemas con dos escalas de tiempo. En la Naturaleza, muchos fenómenos resultan de la concurrencia de distintos procesos que pueden desarrollarse, o no, en diferentes escalas de tiempo. Consideramos sistemas que combinan dos procesos que evolucionan en escalas de tiempo diferentes, a los que llamaremos proceso rápido y proceso lento. Estos sistemas proporcionan modelos de la realidad muy detallados pero, en general, mucho más complicados de estudiar que aquellos modelos que incluyen un único proceso. Bajo ciertas condiciones es posible aprovechar la diferencia de escalas de tiempo para construir un sistema (llamado agregado) de menor dimensión que el sistema original. Las técnicas de agregación aproximada establecen bajo qué condiciones tiene sentido construir el sistema agregado y, en ese caso, qué información asintótica de la dinámica del sistema original es posible obtener a través del estudio del sistema agregado. El objetivo de esta tesis es extender las técnicas de agregación aproximada disponibles para sistemas no lineales con dos escalas de tiempo, tanto discretos como de ecuaciones diferenciales ordinarias no autónomas. Aplicamos estos resultados al estudio de modelos poblacionales con dos escales de tiempo. Supondremos, sin pérdida de generalidad, que el vector de variables de estado X representa los individuos de una población estructurada. El capítulo 1 trata los sistemas discretos no lineales con dos escalas de tiempo. Los resultados más generales disponibles para la agregación aproximada de este tipo de sistemas se verifican bajo condiciones que, en la práctica, son difíciles de comprobar, lo que limita su aplicabilidad. Hasta donde sabemos, en el estudio de modelos concretos, el proceso lento puede ser representado por una función general de clase 1, mientras que el proceso rápido es descrito por una matriz (constante) estocástica regular. En nuestros resultados presentamos clases de funciones, más generales que las representadas por matrices estocásticas regulares, adecuadas para describir el proceso rápido y que, en particular, pueden incluir términos no lineales. En primer lugar suponemos que el proceso rápido preserva el número total de individuos z=[[X]]. Dicha dinámica está representada por una matriz estocástica regular tal que sus entradas son función de clase 1 de la variable z que, a su vez, es función de las variables de estado. Esta hipótesis significa que la evolución de la población bajo la acción del proceso rápido depende del tamaño total de la población en ese momento. Se demuestra entonces que el correspondiente sistema con dos escalas de tiempo es susceptible de ser estudiado con las técnicas de agregación antes mencionadas. Con estos resultados para estudiar distintos modelos poblacionales que combinan un proceso demográfico y otro migratorio que discurren conforme a escalas de tiempo diferentes. Dichos modelos son analizados intercambiando el papel del proceso rápido y del lento. De entre los resultados obtenidos a partir del estudio del sistema agregado, cabe destacar nuevas interpretaciones de modelos poblacionales clásicos o situaciones en las que se produce el efecto Allé. A continuación tratamos sistemas discretos en los que las variables de estado están parcialmente acopladas bajo la acción de la dinámica rápida. Es decir; bajo la acción del proceso rápido, la evolución de una parte de la población depende del estado de la otra parte de la población. Esta idea es plasmada como sigue. Supongamos que la población está dividida en dos grupos. La evolución de los individuos de cada grupo está descrita por una matriz estocástica regular positiva, de modo que las entradas de la matriz que controla el segundo grupo de variables son función (de clase 2) del primer grupo de varibles. Se demuestra que el correspondiente sistema con dos escalas de tiempo verifica las hipótesis necesarias para poder ser analizado con las técnicas de agregación aproximada. Aplicamos estos resultados a una comunidad con hospedadores y parasitoides en un hábitat fragmentado. Consideramos que los desplazamientos de individuos entre las distintas regiones suceden con mayor frecuencia que las interacciones entre hospedadores y parasitoides a nivel local. Suponemos, además, que los hospedadores se mueven de forma aleatoria, mientras que los parasitoides tienen preferencia por aquellas zonas con mayor densidad de hospedadores. Usando las técnicas de agregación aproximada se demuestra que el sistema completo puede exhibir equilibrios asintóticamente estables cuando, en ausencia de desplazamientos, tales equilibrios no existen. En el capítulo 2 se estudia la agregación aproximada de sistemas no autónomos de ecuaciones diferenciales ordinarias con dos escalas de tiempo. La herramienta fundamental es un teorema debido a F.C. Hoppensteadt y relativo a perturbaciones singulares de sistemas con dos escalas de tiempo en intervalos no acotados. Este teorema establece condiciones que permiten estudiar ciertas propiedades dinámicas de sistemas no autónomos con dos escalas de tiempo a partir de dos problemas asociados más sencillos que el original. Este teorema requiere de una serie de hipótesis restrictivas y complicadas de verificar. Las hipótesis se refieren a la regularidad de las funciones involucradas en el sistema y a la estabilidad de las soluciones de los sistemas asociados. A grandes rasgos, probamos que las condiciones de regularidad se cumplen tanto para sistemas periódicos como para sistemas asintóticamente autónomos. Y, lo que es más importante, demostramos que en esos casos las condiciones sobre la estabilidad de las soluciones de los sistemas auxiliares pueden ser enunciadas en términos de ciertos sistemas variacionales. Esto simplifica enormemente el estudio del sistema completo a través de dichos sistemas asociados. Aplicamos estos resultados al estudio de distintos modelos de poblaciones. Consideramos sistemas periódicos que describen poblaciones espacialmente distribuidas en un hábitat heterogéneo. Supongamos que los desplazamientos de individuos entre las distintas zonas que componen el hábitat son más rápidos que las interacciones entre individuos en cada una de esas zonas. En una primera aplicación estudiamos un sistema depredador-presa de tipo Lotka-Volterra con refugio para las presas e interferencia entre los predadores. Rasgo este último que resulta especialmente relevante para adecuar modelos a conjuntos de datos reales. Obtenemos condiciones que garantizan la coexistencia o la exclusión de los depredadores en términos de ciertos parámetros ''vitales'' derivados del estudio del modelo agregado. En una segunda aplicación consideramos una población afectada por una epidemia con múltiples cepas. A partir del sistema agregado obtenemos números reproductivos y números reproductivos de invasión para el sistema no autónomo espacialmente distribuido. Dichas cantidades son coherentes con la definición habitual para modelos no espaciales. Al comparar esos números reproductivos con los obtenidos en el caso no espacialmente distribuido, se pone de manifiesto que determinadas tasas de desplazamiento en la escala rápida implican que la epidemia es erradicada (resp. persistente) en situaciones en las que, en ausencia de desplazamientos, el modelo predice lo contrario. Finalmente, estudiamos un modelo eco-epidemiológico asintóticamente autónomo. El proceso lento corresponde a un modelo depredador presa de tipo Lotka-Volterra. Los depredadores están afectados por una epidemia que sigue la ley de transmisión dependiente de la frecuencia. Aunque la epidemia no es mortal de necesidad, aumenta la mortalidad de los depredadores infectados. Se demuestra que el tamaño de la población de depredadores (resp. presas) es mayor (resp. menor) cuando la epidemia es erradicada que cuando se vuelve endémica. En este último caso, los tamaños poblacionales dependen de los valores de los parámetros que describen el proceso epidemiológico. Por tanto, la introducción de una epidemia en este tipo de comunidades se postula como un mecanismo para controlar los tamaños poblacionales.
application/pdf
http://hdl.handle.net/10017/14182
eng
Biomatemáticas
Biología de poblaciones-Modelos matemáticos
Matemáticas
Sistemas no lineales
Ciencia
Matemáticas
Matematics
Biología
Biology
Approximate aggregation of nonlinear dynamical systems
info:eu-repo/semantics/doctoralThesis
TEXT
e_Buah Biblioteca Digital de la Universidad de Alcalá
Hispana
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