Técnicas polinómicas avanzadas aplicadas al diseño de filtros digitales

Abstract

Los spline, dentro del campo de los polinomios, constituyen una herramienta poderosa que ha sido utilizada para la resolución de problemas en diversos campos científicos. La parte central de este trabajo hace uso de dichos polinomios para generar unas funciones que se aplicarán a la formulación de filtros, dentro del ámbito del procesado de señales. Se generan funciones spline en el dominio de la frecuencia que constituyen transiciones continuas entre dos funciones spline naturales definidas en el mismo dominio, las cuales presentan soporte compacto en el dominio de la frecuencia y sus representaciones temporales constituyen funciones reales para cualquier valor del tiempo. A estas funciones se las denomina -spline en el dominio de la frecuencia. Dependiendo del tamaño de dichos soportes las diferentes funciones se clasifican en tres grupos (I, II y III). Se formulan respuestas en frecuencia de filtros ideales donde las diferentes bandas de frecuencias se unen de manera suave por medio de bandas de transición generadas con las funciones de las diferentes familias -spline y se estudian sus propiedades. En todos los casos las diferentes funciones generadas se definen en el dominio de las frecuencias asociadas tanto al tiempo continuo como al tiempo discreto, y además se obtienen también las representaciones de las mismas en el dominio del tiempo. Se diseñan filtros FIR por medio de truncamientos de las respuestas IIR de los filtros formulados en la fase previa. Estos truncamientos se hacen a partir de razonamientos teórico-prácticos con base en determinados criterios de optimización, y han conducido a la elaboración de fórmulas prácticas de diseño. Se han realizado simulaciones de filtros utilizando tanto las propuestas aquí desarrolladas como las contempladas en trabajos previos, que utilizan funciones spline de exponente racional en el diseño, con el fin de comparar sus rendimientos. Éstos, se han determinado a través de los valores medidos de un conjunto de parámetros de calidad. Se puede concluir que, además de la consistencia matemática de la totalidad de las funciones construidas, en el sentido de que heredan las propiedades de los spline originales y son reales para todo valor de los argumentos, las técnicas propuestas ofrecen mejores prestaciones que sus homólogas, basadas en funciones -spline de exponente racional, en relación a las propiedades de los filtros obtenidos con una u otra técnica.