Efficient detection of symmetries polynomially parametrized curves

Abstract

We present efficient algorithms for detecting central and mirror symmetry for the case of algebraic curves defined by means of polynomial parametrizations. The algorithms are based on an algebraic relationship between proper parametrizations of a same curve, which leads to a triangular polynomial system that can be solved in a very fast way; in particular, curves parametrized by polynomials of serious degrees/coefficients can be analyzed in a few seconds. In our analysis we provide a good number of theoretical results on symmetries of polynomial curves, algorithms for detecting rotation and mirror symmetry, and closed formulae to determine the symmetry center and the symmetry axis, when they exist. Some observations and empiric results for the case of polynomial parametrizations with floating point coefficients are also reported.

Presentamos algoritmos eficientes para detectar simetría central y simetría especular en curvas algebraicas definidas por medio de parametrizaciones polinomiales. Los algoritmos se basan en la relación existente entre dos parametrizaciones propias de una misma curva. Esta relación conduce a un sistema polinómico triangular, que puede resolverse de forma muy rápida. En particular, curvas parametrizadas por polinomios de grados y coeficientes muy elevados pueden analizarse en unos pocos secgundos. En el análisis propuesto se presentan varios resultados teóricos sobre simetrías de curvas polinomiales, algoritmos para detectar simetría rotacional y simetría especular, y fórmulas cerradas para detectar el centro de simetría y el eje de simetría, en caso de que existan. Se discute también el caso de parametrizaciones en coma flotante.